Тео­рия насы­ще­ния. Часть II.

Август, 2021 Анно­та­ция

Сооб­ще­ние явля­ется про­дол­же­нием серии «тео­рия насы­ще­ния». В пер­вой части были зало­жены основы тео­рии, изу­ча­ю­щей инте­рес­ный фено­мен «насы­ще­ния» фак­то­ри­за­ций частич­ных сумм дели­те­лей. В том числе, был при­ведён ряд гипо­тез и наблю­де­ний вме­сте со схе­ма­тич­ными попыт­ками их дока­за­тельств. Но почти ничего не было ска­зано о воз­мож­ных при­ме­не­ниях этих несколько спе­ку­ля­тив­ных резуль­та­тов.

Тео­рия насы­ще­ния (если она не оши­бочна) при­звана раз­ре­шить неко­то­рые кон­фликты между адди­тив­ными и муль­ти­пли­ка­тив­ными аспек­тами тео­рии чисел, и, похоже, что фено­мен насы­ще­ния поз­во­ляет при­бли­зится к реше­нию неко­то­рых дав­них слож­ных задач, среди кото­рых и широко извест­ная гипо­теза о несу­ще­ство­ва­нии нечёт­ных совер­шен­ных чисел (кон­кретно, к концу сооб­ще­ния при­во­дятся два дока­за­тель­ства отсут­ствия нечёт­ных совер­шен­ных чисел; есте­ственно, выпол­нен­ные исходя из пред­по­ло­же­ния о вер­но­сти основ­ных резуль­та­тов тео­рии насы­ще­ния).

---

Содер­жа­ние:

• Вве­де­ние
• Опре­де­ле­ния и ста­рые резуль­таты
  • Связи между утвер­жде­ни­ями
• Новые вспо­мо­га­тель­ные резуль­таты
• Прак­ти­че­ское при­ме­не­ние
  • Нечёт­ные совер­шен­ные числа
• Заклю­че­ние
• Ссылки
• При­ло­же­ние A

Вве­де­ние

Я рад, что чита­тель не сбе­жал после про­чте­ния анно­та­ции. :) Да, задаче о нечёт­ных совер­шен­ных чис­лах около двух кило­лет, и её до сих пор офи­ци­ально не решили. Обще­при­ня­тая гипо­теза гла­сит, что таких чисел попро­сту не суще­ствует, и именно эта гипо­теза будет основ­ных объ­ек­том для «кли­ни­че­ских испы­та­ний» тео­рии насы­ще­ния.

Реко­мен­ду­ется озна­ко­миться с пер­вой частью [1] этой серии сооб­ще­ний. В ней опи­саны основы этой неболь­шой тео­рии, даются необ­хо­ди­мые опре­де­ле­ния. Основ­ным резуль­та­том про­ведён­ных изыс­ка­ний явля­ется ряд гипо­тез и наблю­де­ний вме­сте с наброс­ками их дока­за­тельств (по край­ней мере, для инте­рес­ного част­ного слу­чая).

(Фор­мат этих заме­ток не под­ра­зу­ме­вает исполь­зо­ва­ния неудоб­ных пере­крёст­ных ссы­лок между сооб­ще­ни­ями. Поэтому основ­ные резуль­таты и опре­де­ле­ния я кратко повторю здесь.)

Опре­де­ле­ния и ста­рые резуль­таты

Из 1 выте­кает утвер­жде­ние о логи­че­ской необ­хо­ди­мо­сти силь­ной насы­щен­но­сти и для насы­ще­ния частич­ных сумм дели­те­лей, неза­ви­симо от порядка вклю­че­ния дели­те­лей в сумму. По факту, неко­то­рые из при­ведён­ных в преды­ду­щем сооб­ще­нии наброс­ков дока­за­тельств, под­ра­зу­ме­вают кано­ни­че­ский поря­док дели­те­лей. Так что, глав­ным инстру­мен­том (и основ­ным объ­ек­том попы­ток дока­за­тельства) в теку­щей вер­сии тео­рии насы­ще­ния явля­ется сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние:

Связи между утвер­жде­ни­ями

Клю­че­вые утвер­жде­ния (гипо­тезы 1, 2 и 3, наблю­де­ния 1 и 2) и связи между ними пред­став­лены на диа­грамме ниже:

В левом столбце раз­ме­щены утвер­жде­ния для нечёт­ных , в пра­вом – для чёт­ных.

Звёз­доч­ками поме­чены вер­сии утвер­жде­ний, сде­лан­ные в пред­по­ло­же­нии попар­ного раз­ли­чия всех про­стых мно­жи­те­лей в раз­ло­же­нии (у всех фак­то­ров еди­нич­ные сте­пени). Стрел­ками поме­чены обыч­ные логи­че­ские импли­ка­ции, озна­чает, что из утвер­жде­ния сле­дует утвер­жде­ние .

Стрелки же (могу­щие быть заменён­ными на ) поз­во­ляют пока­зать, как одно утвер­жде­ние вно­сит вклад в дока­за­тель­ство дру­гого: озна­чает, что утвер­жде­ние , воз­можно наряду с дру­гими утвер­жде­ни­ями, «вно­сит вклад» в утвер­жде­ние – к при­меру, дока­за­тель­ство утвер­жде­ния может вхо­дить, в каче­стве фраг­мента, в дока­за­тель­ство ; понятно, что утвер­жде­ние в этом слу­чае обычно логи­че­ски необ­хо­димо для утвер­жде­ния , т.е. . Ну, может быть, это и не самые удач­ные обо­зна­че­ния… :)

Новые вспо­мо­га­тель­ные резуль­таты

Дока­за­тель­ство

Мно­же­ство состоит из нату­раль­ных чисел, не деля­щихся на про­стое . Гипо­теза утвер­ждает, что если все эле­менты – суть дели­тели мак­си­мума , то сумма всех эле­мен­тов не равна .

Поло­жим . Пусть мно­же­ство всех дели­те­лей есть . Т.к. эле­менты не делятся на , то мак­си­маль­ный эле­мент, M, не делится на ; сле­до­ва­тельно, ни один из эле­мен­тов не делится на . Упо­ря­до­чим все дели­тели в воз­рас­та­ю­щую после­до­ва­тель­ность . Оче­видно, . Теперь обра­зуем частич­ные суммы дели­те­лей по пра­вилу и .

Т.к. , то . Число опре­де­ля­ется как обычно. При этом выпол­ня­ется , т.е. при­сут­ствует в раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­тели. Все эти усло­вия делают при­ме­ни­мой гипо­тезу 2. Она утвер­ждает, что . В част­но­сти, т.к. вхо­дит в фак­то­ри­за­цию , то

Теперь можно завер­шить дока­за­тель­ство, вос­поль­зо­вав­шись мето­дом от про­тив­ного. Пусть . Из этого сле­дует, что – насы­щенна отно­си­тельно , т.е. . Но гово­рит, что . Про­ти­во­ре­чие.

Дока­за­тель­ство

Пред­по­ло­жим, что , откуда .

Пусть – мно­же­ство дели­те­лей числа . Тогда

Заме­тим, что , ведь явля­ется своим дели­те­лем. При этом, оче­видно,

и, по постро­е­нию,

Т.к., по усло­вию, не делится на про­стое , т.е. не содер­жит в своей фак­то­ри­за­ции, то в сумме всех дели­те­лей ни одно из сла­га­е­мых не делится на , и, соот­вет­ственно, ни один эле­мент мно­же­ства тоже не кра­тен ; дру­гими сло­вами

Свой­ства и , озна­чают, что ко мно­же­ству , при дан­ном , при­ме­нима гипо­теза 4. Её заклю­че­ние утвер­ждает, что , откуда сле­дует, учи­ты­вая равен­ства и , что . Про­ти­во­ре­чие.

Прак­ти­че­ское при­ме­не­ние

Нечёт­ные совер­шен­ные числа

В XIX веке, Силь­ве­стер при­во­дил извест­ный эври­сти­че­ский аргу­мент [6] — «сеть Силь­ве­стра» — в пользу несу­ще­ство­ва­ния нечёт­ных совер­шен­ных чисел. Он апел­ли­ро­вал к слиш­ком малой веро­ят­но­сти одно­вре­мен­ного удо­вле­тво­ре­ния нечёт­ным совер­шен­ным чис­лом всем извест­ным огра­ни­че­ниям (а их нако­пи­лось немало) на воз­мож­ный вид таких гипо­те­ти­че­ских объ­ек­тов.

В конце XX – начале XXI века появился теперь широко извест­ный эври­сти­че­ский аргу­мент Поме­ранса [7]. Сна­чала Карл Поме­ранс вспо­ми­нает резуль­тат Эйлера о том, что нечёт­ное совер­шен­ное должно иметь вид , где . Т.к. делится на , Поме­ранс заме­чает, что должна делиться на . Из опре­де­ле­ния совер­шен­ного числа так­же выте­кает, что должна делиться на . Отсюда дела­ется вывод об огра­ни­чен­но­сти коли­че­ства таких лога­риф­мом от и о том, что веро­ят­ность дели­мо­сти на равна . Веро­ят­ность же того, что хотя-бы одно число подой­дёт равна . Из схо­ди­мо­сти суммы дела­ется вывод о суще­ство­ва­нии лишь конеч­ного коли­че­ства нечёт­ных совер­шен­ных чисел.

Далее Поме­ранс обра­ща­ется к фак­ти­че­ским резуль­та­там поиска таких чисел. Из того, что иско­мых чисел, мень­ших не обна­ру­жено, и из того, что для нечёт­ных совер­шен­ных чисел, боль­ших должно выпол­няться , Поме­ранс при­хо­дит к тому, что на самом деле лучше рас­смат­ри­вать сумму (как я пони­маю, из-за того, что ) и, чис­ленно оце­нив эту сумму как не пре­вы­ша­ю­щую , делает заклю­че­ние о слиш­ком малой веро­ят­но­сти суще­ство­ва­ния нечёт­ных совер­шен­ных чисел и даже сразу уси­ли­вает его до несуще­ство­ва­ния таких чисел.

В общем, очень мно­гие верили и верят (но не все; Декарт, воз­можно, являлся важ­ным исклю­че­нием) в то, что суще­ствуют только чёт­ные совер­шен­ные числа (при­чём, фак­ти­че­ски, аргу­мент Поме­ранса при­ме­ним и к чёт­ным совер­шен­ных чис­лам тоже, так что, хотя они и суще­ствуют, но их коли­че­ство, воз­можно, конечно). И аргу­менты Силь­ве­стра и Поме­ранса делают спра­вед­ли­вость гипо­тезы 5 весьма веро­ят­ной.

Я же соби­ра­юсь при­ме­нить к гипо­тезе 5 стро­я­щу­юся тео­рия насы­ще­ния. :)

Дока­за­тель­ство гипо­тезы 5

Пусть про­из­воль­ное нечёт­ное таково, что для неко­то­рого . К этому слу­чаю при­ме­нима лемма 1 при . Она гово­рит, что . А из про­из­воль­но­сти выбора нечёт­ного сле­дует, что ни одно нечёт­ное не может удо­вле­тво­рять урав­не­нию , т.е. не может быть совер­шен­ным. Иначе говоря, все совер­шен­ные числа явля­ются чёт­ными.

Это дока­за­тель­ство опи­ра­лось на гипо­тезу 2 (или более общую гипо­тезу 1), утвер­жда­ю­щую, что из насы­щен­но­сти сле­дует силь­ная насы­щен­ность. Но так полу­чи­лось, что наблю­де­ние 1 об отсут­ствии насы­щен­ных сумм дели­те­лей нечёт­ных чисел может исполь­зо­ваться для упро­щён­ного дока­за­тель­ства гипо­тезы 5 напря­мую (т.е., на теку­щий момент, тео­рия насы­ще­ния вклю­чает в себя больше чем тре­бу­ется для дока­за­тель­ства отсут­ствия нечёт­ных совер­шен­ных чисел).

Дока­за­тель­ство 2 гипо­тезы 5

Оче­видно, совер­шен­ные числа могут быть опре­де­лены как непо­движ­ные точки функ­ции . Так если неко­то­рое нечёт­ное явля­ется непо­движ­ной точ­кой , то выпол­ня­ется , откуда . Но наблю­де­ние 1 гово­рит, что для нечёт­ного ника­кая частич­ная сумма дели­те­лей, в т.ч. и аликват­ная сумма, не может быть насы­щен­ной и, соот­вет­ственно, не может делиться на . Про­ти­во­ре­чие.

Эйлер пока­зал, что у нечёт­ных совер­шен­ных чисел один фак­тор дол­жен иметь сте­пень, срав­ни­мую с еди­ни­цей по модулю 4, осталь­ные – чёт­ные сте­пени. Поэтому, рас­смот­рен­ного в преды­ду­щем сооб­ще­нии спе­ци­аль­ного слу­чая фак­торизации без повто­ров, при кото­рой все сте­пени нечётны и равны еди­нице, явно не доста­точно для при­ме­не­ния к гипо­тезе 5 (хотя в заклю­чи­тель­ной части того сооб­ще­ния я ука­зал на воз­мож­ный путь обоб­ще­ния).

Выше я про­де­мон­стри­ро­вал воз­мож­ный под­ход к про­блеме нечёт­ных совер­шен­ных чисел. И как только общее дока­за­тель­ство гипо­тезы 2 будет готово, это сразу же будет озна­чать, что дей­стви­тельно не суще­ствует ни одного нечёт­ного совер­шен­ного числа. :)

В при­ло­же­нии A может быть най­дена заплатка, обес­пе­чи­ва­ю­щая иско­мое обоб­ще­ние выпол­нен­ного ранее дока­за­тель­ства наблю­де­ния 1. Неявно под­ра­зу­ме­ва­ется, что адап­та­ция дру­гих дока­за­тельств из пер­вой части этой серии сооб­ще­ний, тоже может быть выпол­нена без осо­бых труд­но­стей или же вовсе не тре­бу­ется.

Заклю­че­ние

Сам срок, про­шед­ший с выхода «Вве­де­ния в ариф­ме­ти­ку» Нико­маха из Герасы, пре­вы­сив­ший уже две тысячи лет, наме­кает на неко­то­рую подо­зри­тель­ность моего резуль­тата.

Веро­ят­ност­ный аргу­мент Поме­ранса так и вовсе есть обра­зец неод­но­знач­но­сти типа «ста­кан полон versus ста­кан пуст» – можно делать акцент на исче­за­юще малой веро­ят­но­сти и, соот­вет­ственно, делать вывод о несу­ще­ство­ва­нии нечёт­ных совер­шен­ных чисел (даже несмотря, ещё раз повто­рюсь, на потен­ци­аль­ную при­ме­ни­мость этого аргу­мента к чёт­ным совер­шен­ным чис­лам при их явном суще­ство­ва­нии), а можно обра­тить вни­ма­ние на воз­мож­ное не равен­ство этой веро­ят­но­сти нулю и сде­лать вывод (про­ти­во­по­лож­ный!) о их воз­мож­ном суще­ство­ва­нии, – хотя, в то же самое время, под­хо­дя­щая вари­а­ция аргу­мента Поме­ранса, по-видимому, могла бы ока­заться цен­ной для обос­но­ва­ния гипо­тезы о конеч­но­сти всех совер­шен­ных чисел.

Таким обра­зом, убе­ди­тель­ной неза­ви­си­мой под­держки вер­но­сти или оши­боч­но­сти моего дока­за­тель­ства мне найти не уда­лось. Но сам фено­мен насы­ще­ния не ста­но­вится от этого менее инте­рес­ным.

Вопросы и задачи, оста­ю­щи­еся пока откры­тыми:

• Верна ли гипо­теза 1? Я лишь выска­зал её, но de facto вме­сто неё дока­зы­вал и при­ме­нял гипо­тезу 2;
• Каковы дру­гие воз­мож­ные при­ме­не­ния тео­рии насы­ще­ния?
• Потен­ци­ально инте­рес­ной целе­вой зада­чей для насто­я­щей тео­рии мог бы стать [тоже пока откры­тый] вопрос о конеч­но­сти коли­че­ства совер­шен­ных чисел вообще (т.е. чёт­ных, раз нечёт­ных скорее-всего не суще­ствует). Но при­го­ден ли этот мате­ма­ти­че­ский аппа­рат для реше­ния задач такого рода?
• Можно вре­менно про­игно­ри­ро­вать воз­раст «ги­по­тезы Никомаха-Эйлера», вспом­нив, что тео­рема Гёделя о непол­ноте появи­лась только в веке XX, и задаться вопро­сом, а не обу­слов­лено ли пер­ма­нент­ное усколь­за­ния нечёт­ных совер­шен­ных чисел от попы­ток их поиска именно подоб­ными явле­ни­ями. Дру­гими сло­вами, не явля­ется ли гипо­теза 5 недо­ка­зу­е­мой?
• Тре­бу­ется испра­вить, обоб­щить и ском­пи­ли­ро­вать име­ю­щи­еся фраг­мен­тар­ные наброски дока­за­тельств, при­дав тео­рии насы­ще­ния доста­точ­ную фор­ма­ли­зо­ван­ность.

Ссылки

• 1. http://circiter.github.io/saturation-theory-part-1
• 2. http://en.wikipedia.org/wiki/perfect_number
• 3. http://ru.wikipedia.org/wiki/совершенное_число
• 4. Нико­мах Гераз­ский. Вве­де­ние в ариф­ме­тику / пер. Щет­ни­ков А.И.
• 5. Nicomachus of Gerasa. Introduction to Arithmetic / пер. Martin Luther D’Ooge
• 6. Sylvester J.J. Sur les nombres dits de Hamilton. 1887
• 7. Pomerance’s Heuristic that Odd Perfect Numbers are Unlikely http://web.archive.org/web/20061229094011/http://oddperfect.org/pomerance.html

При­ло­же­ние A

В дан­ном при­ло­же­нии пред­став­лена «за­плат­ка», пред­по­ло­жи­тельно исправ­ля­ю­щая (обоб­ща­ю­щая) дока­за­тель­ство наблю­де­ния 1 (само дока­за­тель­ство нахо­дится в пер­вой части этой серии сооб­ще­ний).

В наброске дока­за­тель­ства наблю­де­ния 1 исполь­зо­ва­лась кон­струк­тив­ная китай­ская тео­рема об остат­ках, давав­шая реше­ние (по модулю ) вида

где – все раз­лич­ные фак­торы числа для слу­чае его фак­то­ри­за­ции без повто­ров: .

В общем слу­чае, число фак­то­ри­зу­ется в виде (кано­ни­че­ское раз­ло­же­ние), где – мак­си­маль­ная сте­пень про­стого дели­теля , на кото­рую делится . В заклю­чи­тель­ной части преды­ду­щего сооб­ще­ния я пред­по­ло­жил, что можно, при при­ме­не­нии К.Т.О., вме­сто про­стых чисел исполь­зо­вать вза­имно про­стые модули . Теперь я уве­рен, что это дей­стви­тельно можно сде­лать.

Обо­зна­чим . Оче­видно, (т.е. модули попарно вза­имно про­сты). Тогда кон­струк­тив­ная вер­сия К.Т.О. даст реше­ние в виде

заме­ня­ю­щим реше­ние .

Из сле­дует, что пока­за­тель сте­пени в равен . Оче­видно, , а из-за нечёт­но­сти выпол­ня­ется . Отсюда,

(Пол­ная роль этого нера­вен­ства мне пока неясна, а далее пока будет доста­точно усло­вия .)

Здесь будут про­пу­щены рас­суж­де­ния, ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ниям из пер­вого сооб­ще­ния (выпол­нен­ным для , а не для ), при­во­дя­щие в насто­я­щем слу­чае к необ­хо­ди­мо­сти про­верки дели­мо­сти выра­же­ния на модули . Из этих рас­суж­де­ний выте­кает задача про­верки дроб­но­сти выра­же­ния

полу­чен­ного из деле­нием его на (для про­из­воль­ного ) и выноса одного из сла­га­е­мых суммы за её пре­делы.

Легко видеть, что под­вы­ра­же­ние все­гда больше нуля, а вот под­вы­ра­же­ние может быть равно нулю (если все фак­торы числа равны друг другу).

Даль­ней­шие рас­суж­де­ния пол­но­стью ана­ло­гичны уже выпол­нен­ным в пер­вом сооб­ще­нии. Я лишь кратко повторю самое важ­ное. Итак, в под­вы­ра­же­нии мы можем поде­лить на , что даст целое число, боль­шее еди­ницы. Еди­ница могла бы полу­читься только если в нали­чии имелся бы ровно один модуль , но в таком слу­чае всё под­вы­ра­же­ние было бы нулём (см. преды­ду­щий абзац), а зна­чит – целым чис­лом. Если же дробь , то после воз­ве­де­ния в нену­ле­вую сте­пень — cf. нера­вен­ство — полу­чится целое число, боль­шее еди­ницы и деля­ще­еся на (т.к. ). Это при­во­дит к цело­чис­лен­но­сти под­вы­ра­же­ния .

В под­вы­ра­же­нии дробь – целая. Но важно, что такая дробь «вы­чер­ки­ва­ет» из , и, поэтому, сама дробь на вто­рой раз уже не делится. Резуль­тат воз­ве­де­ния в сте­пень тоже не будет делиться на (состав­ля­ю­щим фак­то­рам неот­куда взяться). Число , по ана­ло­гии с преды­ду­щим сооб­ще­нием, опре­де­лим как оста­ток от деле­ния частич­ной суммы на модуль . Такой оста­ток меньше и делиться на не может. В итоге полу­ча­ется, что под­вы­ра­же­ние – есть дробь со зна­ме­на­те­лем и чис­ли­те­лем, не деля­щимся на . Т.е. под­вы­ра­же­ние – дроб­ное число. (Здесь стоит под­черк­нуть ещё раз, что вычер­ки­ва­ется из и, в резуль­тате, , поэтому дроб­ность или цело­чис­лен­ность пол­но­стью опре­де­ля­ется дели­мо­стью на .)

Всё это гово­рит о том, что выра­же­ние , как сумма дроб­ного и целого чисел, – есть число дроб­ное. Дру­гими сло­вами, выра­же­ние не делится на , а из про­из­воль­но­сти полу­ча­ется, что не делится вообще ни на один из моду­лей .

Можно ли счи­тать, как думал я при напи­са­нии пред­ва­ри­тель­ной вер­сии этого сооб­ще­ния, что, по ана­ло­гии с дока­за­тель­ством из пер­вого сооб­ще­ния, некрат­ность дели­теля каж­дому из дока­зы­вает шаг индук­ции из-за про­ти­во­ре­чия с «кри­те­ри­ями дели­те­ля» (см. пер­вое сооб­ще­ние; кратко: дели­тель дол­жен делиться хотя бы на один из )? Нет! Если теку­щий дели­тель не делится на неко­то­рый , то это не зна­чит, что он не делится, ска­жем для при­мера, на .

Фак­ти­че­ски, рас­суж­де­ния, при­ведён­ные выше в этой заплатке дей­ствуют только если при­над­ле­жит под­хо­дя­щему под­мно­же­ству мно­же­ства дели­те­лей числа . Такое под­мно­же­ство должно состо­ять из дели­те­лей, могу­щих быть «со­бран­ны­ми» из моду­лей . Для дру­гих дели­те­лей опи­сан­ный аргу­мент не рабо­тает. Но это же и под­ска­зы­вает воз­мож­ный гипо­те­ти­че­ский путь завер­ше­ния дока­за­тель­ства шага индук­ции.

В пер­вом сооб­ще­нии мы имели дело с систе­мой моду­лей , в насто­я­щем сооб­ще­нии – с . Это – пре­дель­ные, край­ние слу­чаи, и, воз­можно, раз­ре­шить воз­ник­шую про­блему удастся с помо­щью вве­де­ния боль­шего коли­че­ства «про­ме­жу­точ­ных» систем моду­лей. Этот зыб­кий путь опи­ра­ется на ряд вспо­мо­га­тель­ных [оста­ю­щихся пока недо­ка­зан­ными] гипо­тез.

Идея дока­за­тель­ства: Может быть эту гипо­тезу и не надо дока­зы­вать. :) Может быть сго­дится аргу­мент «по опре­де­ле­нию». Будем про­сто пере­би­рать все­воз­мож­ные системы моду­лей из и для каж­дой нахо­дить под­хо­дя­щее под­мно­же­ство (мак­си­маль­ное по вклю­че­нию) . Табу­ли­ро­ва­ние индек­сов вхо­дя­щих в дели­те­лей и даст тре­бу­е­мое отоб­ра­же­ние .

Сооб­ра­же­ния по дока­за­тель­ству: Я не знаю как дока­зать эту гипо­тезу, но все пре­тен­зии здесь к китай­ской тео­реме об остат­ках. :) Я про­сто при­ни­маю за долж­ное, что если оценка дели­теля, т.е. реше­ние , полу­чен­ное при­ме­не­нием этой тео­ремы, делится на , то и насто­я­щий дели­тель дол­жен делиться на (разве не разумно ожи­дать, что оценка или при­бли­же­ние неко­то­рого объ­екта, должны обла­дать боль­шин­ством свойств этого объ­екта?). Про­блема здесь в том, что основ­ная тео­рема ариф­ме­тики, в таком слу­чае, при­во­дит к равен­ству , но в реаль­но­сти чис­лен­ные зна­че­ния дели­теля и его К.Т.О.-оценки вроде как не обя­заны сов­па­дать… Одна из «ды­рок» тео­рии насы­ще­ния, воз­можно, нахо­дится именно здесь.

На основе этих допол­ни­тель­ных опре­де­ле­ний и гипо­тез можно про­дол­жить гово­рить об основ­ном дока­за­тель­стве [наблю­де­ния 1].

Итак, под­ра­зу­ме­ва­ется, что для любой дей­стви­тельна пря­мая адап­та­ция аргу­мента, при­ведён­ного в начале опи­са­ния этой заплатки. При­ме­не­ние такого аргу­мента при­во­дит к выводу о том, что на неко­то­ром шаге индук­тив­ного дока­за­тель­ства наблю­де­ния 1, реше­ние системы , а именно число , ока­зы­ва­ется некрат­ным каж­дому из моду­лей . Из гипо­тезы 7 тогда сле­дует, что и не делится ни на один из . Но это нару­шает новый кри­те­рий дели­теля из пред­ло­же­ния 1 и при­во­дит к жела­е­мому про­ти­во­ре­чию, дока­зы­вая, т.о., шаг индук­ции (от про­тив­ного) и теперь наконец-то завер­шает дока­за­тель­ство.

Ещё раз под­чёр­ки­ваю, что при­ведён­ный в насто­я­щем при­ло­же­нии фраг­мент явля­ется именно «за­плат­кой», тре­бу­ю­щей сво­его нало­же­ния на исход­ное дока­за­тель­ство наблю­де­ния 1 из пер­вого сооб­ще­ния. Как нибудь потом я обя­за­тельно напишу пол­ное дока­за­тель­ство, но пока заплатка лучше чем ниче­го… :)